正二十面体の頂点は、
3×20÷5=12個ありますね。
一つの頂点から、辺長の1/3だけの距離の点を、頂点につながる五つの辺上にとり、それらを結んだ平面で正二十面体を切断すると、切断面は正五角形となります。
上記の切断を全ての頂点において行うと12個の切断面（正五角形）が現れますが、その切断面のみを黒く塗ると、サッカーボールのような立体（切頂二十面体）ができます。
この立体の頂点数は、「正二十面体の一つの頂点につき頂点数が5個になった」と考えればいい訳ですから、5×12=60個あります。
この美しい立体の60個の頂点の位置に炭素原子がくると、安定した状態になります（“フラーレン”と呼ばれます）。
人工的に安定状態にさせる場合に限らず、自然界においても正五角形や正六角形はよく現れる形です。
代表的なものでは、「桜の花弁」や「蜂の巣」がありますね。
家のまわりや旅行先で探してみるなど、夏休みの自由研究にはピッタリの題材だと思います。
それらに興味を持って調べ始めると、また面白い世界が待っていることでしょう。
（「黄金比」との関連を調べてみると・・・？）
