「平方根」関連の頻出問題

「根号を含む数の四則演算」ができるようになったら、次のステップとして、「平方根の原理」に基づく応用問題に取り組んでみましょう。

入試においてよく出題される代表的な問題を、過去問からいくつか集めました。

【問題】
√(2019+n)が自然数となるような最小の自然数nを求めよ。

【解説】
https://mcafejr.hatenablog.com/entry/2019/07/28/%E2%80%9C2019%E2%80%9D%E5%95%8F%E9%A1%8C%282019%E8%B1%8A%E5%B3%B6%E5%B2%A1%E5%A5%B3%E5%AD%90%29

【問題】
√(2018-2n)が整数となる自然数nの個数は？

【解説】
https://mcafejr.hatenablog.com/entry/2019/07/16/%E3%80%8C%E2%88%9A%E2%96%A1%E3%81%8C%E2%80%9C%E6%95%B4%E6%95%B0%E2%80%9D%E3%81%A8%E3%81%AA%E3%82%8B%E3%80%8D

【問題】
√(582－6n)が自然数となるような素数nの値を全て求めよ。

【解説】
https://mcafejr.hatenablog.com/entry/2019/07/18/%E3%80%8C%E2%88%9A%E2%96%A1%E3%81%8C%E2%80%9C%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0%E2%80%9D%E3%81%A8%E3%81%AA%E3%82%8B%E3%80%8D

【問題】
1～8の整数が1つずつ書かれた8枚のカードが入っている袋がある。
この袋から1枚のカードを取り出して戻す作業を2回繰り返す。
1回目、2回目に取り出したカードに書かれた整数を順にm,nとするとき、
900/√(mn)が整数となる確率は？

【解説】
https://mcafejr.hatenablog.com/entry/2019/08/08/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9%E3%81%A8%E7%A2%BA%E7%8E%87%EF%BC%882018%E9%83%BD%E7%AB%8B%E5%9B%BD%E7%AB%8B%EF%BC%89