整数問題を解く際の重要なカギとなることが多い「素数」。少なくとも2桁の素数に関しては、すぐに判別できるようにしておくべきでしたね。まだその辺が怪しい場合は、“エラトステネスの篩”で自分で素数をあぶり出しておきましょう。 （※すぐネットで調べる癖…

これは実際の中学入試問題なのですが、小学生用の整数問題であれば、このレベルにとどめておくべきではないかと常々思います。方程式の扱い方を正式に習っていない状態で、大人顔負けの整数問題が平気で出題されている様は、ちょっと行き過ぎでしょう… 【問…

例えば、 「9=4+5」 と表されますね。また、 「9=2+3+4」 とも表されますが、他にはありませんね。よって、 「9は2連続数と3連続数の和で表される」 ことがわかります。 まず誰でも気づくこととしては、“自然数の和”に限定すれば、 「奇数（1を除く）は必ず2…

昔、「車のナンバー」や「切符の通し番号」を元にした暇つぶしのような“数遊び”がありました。例えば、 「1235」 であれば、 「1×2+3=5」 とするような遊びです。Z世代以降で、このような遊びをした経験があるという人は、ほぼ“絶滅”しているのではないでし…

“魔法陣”と誤解している人もいるようですが、 「ﾀﾃ、ﾖｺ、ﾅﾅﾒのどの方向の和も等しくなるように数が記入された方陣」 のことですね。遊びとして、誰でも一度くらいは試したことがあるのではないでしょうか。方陣のマス数によって難易度は異なりますが、基本的…

整数の約数に関する出題方法としては、出し尽くされた感もありましたが、今回のものは目新しさがあります。今年の中学入試問題なのですが、高校入試用に出題されたとしても遜色ないでしょう。 【問題】 1より大きな整数xについて、 「xの約数のうち2番目に小…

今年の中学入試問題で、 「小学生相手にこのレベルの“整数との接し方”を試すのか」 という出題がありました。その反面、高校入試問題であれば良問の部類に入る問題なので、上位校をめざす受験生には是非解いてもらいたいところです（小学生に負けていられま…

例えば、西暦年数を用いて、 「1×2×…×2022(=2022!)を計算すると末尾に0がいくつ並ぶか？」 という定番の“総積”問題がありますが、取り組み方の原理さえ理解していれば、“瞬殺”できますね。 今年の中学入試において、上記のような “定番問題の解き方だけ覚え…

これも「該当するものを全て数え上げる」だけの、今年の中学入試問題です。とは言っても、かなりの数が想定できそうなので、やはりポイントは 「いかにして全て数え上げるか」 です。“同じ整数が含まれていてもよい” と但し書きされているかいないかで、取り…

今年の中学入試問題から、西暦年数に関連した問題をやってみましょう。単純に4桁の自然数を数え上げるだけなので、 「どう解くべきか」 を考えることに意義があります。 【問題-1】 2022のように「2種類の数字でつくられる4桁の自然数」は、2022も含めて全部…

ごくごく一般的な不定方程式の問題ですが、出題方法がちょっとだけ変わっているので、一応やっておきましょう。 【問題】 xを整数とし、「xに1を加えた数」と「xからmを引いた数」の積をnとする。 (1)n=10のとき、xが存在するような自然数mの値を全て求めよ…

あるブログで、お子さんが学校で下記のような問題を出されたと投稿されていました。インターに通う小学生らしいので英文の問題です。そもそも単語の意味がわからないと取り組みようがないでしょうが、このくらいの短文ならば自分で調べて考えましょう。ただ…

前回はちょっと頭を使ったかもしれないので、今回はこどもから大人まで一緒に考えられるような“コーヒーブレイク”の問題でいきましょう。 2つの数a,bの最大公約数を、 「g(a,b)」 と表すことにしましょう。例えば、 「g(3,9)=3,g(6,16)=2」 ということです。…

数の並べ方としてはよくある設定なので、そう難しくはないはずです。そこに、やや大きな数である 「西暦年数“2021,2022”」 を絡めてみましょう。 【問題-1】 1段目は、(1) 2段目は、(2,3,4) 3段目は、(5,6,7,8,9) 4段目は、(10,11,12,13,14,15,16) …上記のよ…

「2～11の倍数判定法」については、皆さんもしっかり把握していることと思います。判定法を覚えてさえいれば、「2～11の倍数」に関する問題については難なく対応できますね。そこで、以前にも扱いましたが、「2桁の整数の倍数」に関する問題への対応方法を再…

「除数」や「剰余」に関する問題においては、“合同式”を用いると楽でしたね。全員がマスターすべきものではありませんが、上位校合格をめざすのであれば、マスターしておいた方がいいでしょう。下記の問題も、原題では誘導されながら解いていく形式なので、…

規則性が見えてくれば、 「数列の第n項（一般項）」 を求めることは、そう難しいことではないはずです。しかし、 「第1～n項の総和」 を求めるとなると、規則性を把握できていたとしても、厄介になってくるものもありますね。高校生以上になると、基本的な公…

「最大公約数と最小公倍数」 が与えられる場合（特に上位校入試）、鉄則とでも言えるような取り組み方がありましたね。原理をしっかり理解できていれば何でもないことなのですが、「最大公約数や最小公倍数の求め方」だけ覚えて機械的に対処しているようだと…

この定番問題では、√□が 「“整数”となるのか“自然数”となるのか」 で、まず注意が必要でしたね。今回は「√□が整数となる」設定の問題でいきましょう。 【問題-1】 √(180-3x)が整数となるような、最小の正の有理数xを求めよ。【問題-2】 √(25-n×n)が整数とな…

定番の「西暦年数問題」のような体裁でありながら、ちょっとオモシロイ整数問題です。 【問題】 √(10x)+√(21y)を2乗すると自然数となるような、自然数(x,y)の組のうち、x+yの最小値を求めよ。 まずは、 「√□が自然数となる」 との設定での攻め方を再確認した…

ある数の「整数・小数部分」に関する問題は、入試においては定番でもあり、皆さんもどこかで解いたことがあると思います。 そこで、まずはこの問題を解いてみましょう。正しくサッと解ききれるのであれば問題ないのですが… 【問題】 aは50以下の素数とする。…

中・上位校合格をめざす受験生向けの、入試の「小問集合」によく出てくる「式の値」問題です。サクッと解ききってほしいところですが、正解を導き出せなかったり、手さえ出せなかった場合は、その教訓を必ず本番にいかせるようにしておきましょう。 【問題】…

「スポーツクライミング複合」という競技が、先日の東京五輪2020において初めて採用されました。そして、この競技の日本におけるレジェンドのような野口啓代さんは、この大会をもって現役を引退することを表明していました。大会が1年延期されてどうなるのか…

これも、「一般公立入試」においては、やや敷居が高い部類に入る問題でしょう。実際の入試問題では誘導設問がいくつかあり、それに答えることで点数を得られるように配慮されています。そして、最終問題として下記の設問があるのですが、例によって、それだ…

様々な学力の生徒が取り組む「一般公立入試」においては、やや敷居が高い部類に入る問題でしょう。一方、上位校入試においては出題されてもおかしくないので、該当する受験生はこのような問題で「理詰めで解ききる練習」をしておきましょう。 【ゲーム内容】…

1,1,2,3,5,8,13,21,...これは、有名なフィボナッチ数列ですね。初めて見る人にとっては、どんなルールに則って数字が並んでいるのか、見当がつきにくいかもしれませんね。 （※1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8,...） そこで、出だしがフィボナッチ数列と似ている、1,…

この学校の十八番である「整数問題」と2次方程式とを絡めた入試問題です。「2次方程式の解と係数の関係」に主眼を置いた問題は頻出していますが、今回の問題は“そのようでありながらそうではない”ちょっとオモシロイ問題となっています。原題は、小設問によ…

今年の都立入試においては特殊な試験範囲となりましたが、以前にも伝えたとおり、都立日比谷の問題は拍子抜けするほど平易な内容でした。“整数関連は西”、“複合比関連は国立”とそれぞれの十八番があるので、出題内容がかぶるのを避けたかったのだとは思いま…

整数を題材とした典型的な問題なので、サクッと解けると思います。但し、変な方向に応用させることのないように注意しましょう。 【問題-1】 1＜c＜b＜a＜20を満たす整数a,b,cにおいて、 「170a+169b+168cの値が13の倍数」 となるとき、a,b,cの値の組は全部…

文字通りサクッと解くことができれば、何の問題もありません。しかし、ウッカリ間違えてしまうような場合は、入試に向けて留意しておかなければならないでしょう。 【問題-1】 6人が各々10個の玉を投げ、かごの中に入った玉の個数を数えた。 そのうち、 「4…